Question

10．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm．一條線段PQ=AB，并且P、Q兩點分別在線段AC和過A點且垂直于AC的射線AM上運動．問當P點位于AC的什么位置時由P、Q、A點構成的三角形與△ABC全等？并說明理由．

Answer 1

分析 本題要分情況討論：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此時AP=BC=5cm，可據(jù)此求出P點的位置．
②Rt△QAP≌Rt△BCA，此時AP=AC，P、C重合．

解答 解：根據(jù)三角形全等的判定方法HL可知：
①當P運動到AP=BC時，
∵∠C=∠QAP=90°，
在Rt△ABC與Rt△QPA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=BC}\\{PQ=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP=BC=5cm；
②當P運動到與C點重合時，AP=AC，
在Rt△ABC與Rt△QPA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AC}\\{PQ=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），
即AP=AC=10cm，
∴當點P與點C重合時，△ABC才能和△APQ全等．
綜上所述，當點P位于AC的中點處或當點P與點C重合時，△ABC才能和△APQ全等．

點評 本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本題沒有說明全等三角形的對應邊和對應角，因此要分類討論，以免漏解．