Question

1．已知△ABC是等邊三角形，BC=2cm，點(diǎn)D是直線BC上的一動點(diǎn)，以AD為邊在直線BC的同側(cè)作等邊△ADE，過點(diǎn)C作CF∥DE交直線AB于點(diǎn)F，連接EF．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時，求證：△ACD≌△CBF；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB延長線上時，
①若BD=2，求證：四邊形DCFE是矩形；
②在點(diǎn)D的移動過程中，四邊形DCFE能成為菱形嗎？說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△ABC和△AED是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，ED∥CF，求證△ACD≌△BFC；
（2）①根據(jù)△ABC和△AED是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，ED∥CF，求證△ABD≌△CAF，進(jìn)而求證四邊形EDCF是平行四邊形，再得出∠EDC=90°，證明矩形即可；
②根據(jù)分析得出DC＞ED，故不能為菱形．

解答 解：（1）∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ADE=∠CAB=60°，AB=CA，
∴∠BDA=∠ADE+∠BDE=60°+∠BDE，
∠AFC=∠ABC+∠BCF=60°+∠BCF，
∵CF∥DE，
∴∠BDE=∠BCF，
∴∠BDA=∠AFC，
∴∠ADC=∠BFC
在△ACD和△CBF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠B}\\{∠ADC=∠BFC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BFC（AAS）；

（2）①∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ADE=∠BAC=60°，AB=CA，
∴∠BDA=180°-∠ADE-∠GDE=120°-∠GDE，
∠AFC=180°-∠ABC-∠BCF=120°-∠BCF，
∵CF∥DE，
∴∠GDE=∠BCF，
∴∠BDA=∠AFC，
在△BAD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAF=120°}\\{∠BDA=∠AFC}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△ACF（AAS），
∴AD=CF，
∵AD=DE，
∴DE=CF且DE∥CF，
∴四邊形DCFE是平行四邊形，
∵DB=AB=2，∠ADB+∠BAD=∠ABC=60°，
∴∠ADB=∠BAD=30°，
∴∠EDC=∠ADE+∠ADB=90°，
∴平行四邊形DCFE是矩形；
②四邊形DCFE不可能成為菱形，
∵t＞0，
∴BD＞0
在△BAD中，AB+BD＞AD，
∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴AD=DE，AB=BC，
∴BC+BD＞DE，即DC＞ED，
∴四邊形DCFE不可能成為菱形．

點(diǎn)評 此題主要考查學(xué)生對平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)的理解和掌握．此題涉及到的知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．