Question

4．D、E是等腰Rt△ABC斜邊BC所在直線上的兩點，滿足∠DAE=135°，求證：CD²+BE²=DE²．

Answer 1

分析 將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACF，證明△DAE≌△DAF，得到DF=DE，根據(jù)勾股定理計算即可．

解答 證明：∵∠DAE=135°，∠BAC=90°，AB=AC，
將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACF，
則∠EAF=90°，BE=CF，∠ACF=∠ABE=45°，AE=AF，CF=BE，
∵∠DAE=135°，∠EAF=90°，
∴∠DAF=135°，
在△DAE和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠DAE=∠DAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DAF，
∴DF=DE，
∠DCF=∠ACB+∠ACF=90°，
∴CD²+CF²=DF²．
∴CD²+BE²=DE²．

點評 本題考查的是勾股定理的應(yīng)用、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理是解題的關(guān)鍵．