Question

8．如圖1，已知：矩形ABCD中，AC、BD是對角線，分別延長AD至E，延長CD至F，使得DE=AD，DF=CD．

（1）求證：四邊形ACEF為菱形．
（2）如圖2，過E作EG⊥AC的延長線于G，若AG=8，cos∠ECG=$\frac{3}{5}$，則AD=2$\sqrt{5}$（直接填空）

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形ACEF是平行四邊形，再由矩形的性質(zhì)證出AE⊥CF，即可得出四邊形ACEF是菱形；
（2）由菱形的性質(zhì)得出AC=CE，AD=ED，與三角函數(shù)得出CG=$\frac{3}{5}$CE=$\frac{3}{5}$AC，得出CG=3，CE=AC=5，由勾股定理求出EG=$\sqrt{C{E}^{2}-C{G}^{2}}$=4，在Rt△AEG中，由勾股定理求出AE=$\sqrt{A{G}^{2}+E{G}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，即可得出AD的長．

解答 （1）證明：∵DE=AD，DF=CD．
∴四邊形ACEF是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴AE⊥CF，
∴四邊形ACEF是菱形；

（2）解：∵四邊形ACEF是菱形，
∴AC=CE，AD=ED，
∵EG⊥AC，cos∠ECG=$\frac{CG}{CE}$=$\frac{3}{5}$，
∴CG=$\frac{3}{5}$CE=$\frac{3}{5}$AC，
∵AG=AC+CG=8，
∴CG=3，CE=AC=5，
∴EG=$\sqrt{C{E}^{2}-C{G}^{2}}$=4，
在Rt△AEG中，AE=$\sqrt{A{G}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AD=$\frac{1}{2}$AE=2$\sqrt{5}$；
故答案為：2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、勾股定理、三角函數(shù)定義等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明四邊形ACEF是菱形是解決問題的關(guān)鍵．