Question

20．如圖所示，

將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊（包括兩個(gè)端點(diǎn)）有n（n是正整數(shù)且n＞1）個(gè)點(diǎn)，相應(yīng)的圖案中總的點(diǎn)數(shù)記為a_n ，則$\frac{9}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{9}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…+$\frac{9}{{a}_{2017}{a}_{2018}}$=（　　）

• A． $\frac{2015}{2016}$
• B． $\frac{2016}{2017}$
• C． $\frac{2017}{2018}$
• D． $\frac{2018}{2017}$

Answer 1

分析 根據(jù)圖象規(guī)律得出通項(xiàng)公式a_n=3n-3，根據(jù)數(shù)列{$\frac{9}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$}的特點(diǎn)即可用列項(xiàng)法求其前n項(xiàng)和的公式，而$\frac{9}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{9}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…+$\frac{9}{{a}_{2017}{a}_{2018}}$是前2016項(xiàng)的和，代入前n項(xiàng)和公式即可得答案．

解答 解：每個(gè)邊上有n個(gè)點(diǎn)，把每個(gè)邊上的點(diǎn)數(shù)相加得3n，這樣角上的點(diǎn)數(shù)被重復(fù)計(jì)算了一次，
故第n個(gè)圖形的點(diǎn)數(shù)為3n-3，即a_n=3n-3，
令S_n=$\frac{9}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{9}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…+$\frac{9}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{n-1}{n}$，
∴$\frac{9}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{9}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…+$\frac{9}{{a}_{2017}{a}_{2018}}$=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圖形和數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)圖形得出點(diǎn)的變化規(guī)律和數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．