Question

10．如圖，已知拋物線y=-x²+9的頂點(diǎn)為A，曲線DE是雙曲線y=$\frac{k}{x}$（3≤x≤12）的一部分，記作G₁，且D（3，m），E（12，m-3），將拋物線y=-x²+9水平向右移動(dòng)a個(gè)單位，得到拋物線G₂．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）設(shè)拋物線y=-x²+9與x軸的交點(diǎn)為B、C，且B在C的左側(cè)，求線段BD的長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)（4，n）為G₁與G₂的交點(diǎn)坐標(biāo)，求a的值；
（4）在移動(dòng)過(guò)程中，若G₁與G₂有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把D（3，m），E（12，m-3）代入雙曲線y=$\frac{k}{x}$（3≤x≤12），得到3×m=12（m-3），于是得到結(jié)論；
（2）在y=-x²+9中，令y=0，則-x²+9=0，得到B（-3，0），C（3，0），得到BC=6，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（3）把（4，n）代入y=$\frac{12}{x}$中得n=3，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；
（4）把D（3，4）代入y=-（x-a）²+9得4=-（3-a）²+9，得到a=3±$\sqrt{5}$，把E（12，1）代入y=-（x-a）²+9得1=-（12-a）²+9，得到a=12±2$\sqrt{2}$，于是得到結(jié)論

解答 解：（1）∵D（3，m），E（12，m-3）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（3≤x≤12）上，
∴3×m=12（m-3），
∴m=4，
∴D（3，4），E（12，1），
∴k=3×4=12，
∴雙曲線的解析式為y=$\frac{12}{x}$；

（2）在y=-x²+9中，令y=0，則-x²+9=0，
∴x=±3，
∴B（-3，0），C（3，0），
∴BC=6，
∵D（3，4），
∴DC⊥BC，
∴BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$；

（3）∵點(diǎn)（4，n）為G₁與G₂的交點(diǎn)坐標(biāo)，
把（4，n）代入y=$\frac{12}{x}$中得n=3，
∵拋物線y=-x²+9水平向右移動(dòng)a個(gè)單位，得到拋物線G₂，
∴拋物線G₂的解析式為y=-（x-a）²+9，
把（4，3）代入y=-（x-a）²+9得3=-（4-a）²+9，
∴a=4-$\sqrt{6}$或a=4+$\sqrt{6}$；

（4）把D（3，4）代入y=-（x-a）²+9得4=-（3-a）²+9，
解得a=3±$\sqrt{5}$，
∵在移動(dòng)過(guò)程中，拋物線的AB部分過(guò)D點(diǎn)時(shí)，G₁與G₂有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴a=3+$\sqrt{5}$；
把E（12，1）代入y=-（x-a）²+9得1=-（12-a）²+9，
解得a=12±2$\sqrt{2}$，
∵在移動(dòng)過(guò)程中，拋物線的AC部分過(guò)E點(diǎn)時(shí)，G₁與G₂有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴a=12-2$\sqrt{2}$，
∴在移動(dòng)過(guò)程中，若G₁與G₂有兩個(gè)交點(diǎn)，a的取值范圍是3$+\sqrt{5}$≤a≤12-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，勾股定理，根據(jù)函數(shù)的解析式求點(diǎn)的坐標(biāo)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．