Question

18．已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．
（1）求證：EG=CG且EG⊥CG；
（2）將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45°，如圖②所示，取DF中點G，連接EG，CG．問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）將圖①中△BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？

Answer 1

分析 （1）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，證出CG=EG；證明C、D、E、F四點共圓，圓心為G，由圓周角定理得出∠EGC=2∠BDC=90°，得出EG⊥CG；
（2）結(jié)論仍然成立，連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點；再證明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再證出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再證明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后證出CG=EG．
（3）先證明△DCG≌△FMG，得出MF=CD，再證明△MFE≌△CBE，得出∠MEF=∠CEB，CE=EM，得出∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，證出△MEC為等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：在Rt△FCD中，∵G為DF的中點，
∴CG=$\frac{1}{2}$FD，
同理，在Rt△DEF中，EG=$\frac{1}{2}$FD，
∴CG=EG；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BDC=45°，
∵EF⊥BD，
∴∠DEF=90°，
∴∠DEF+∠BCD=180°，
∴C、D、E、F四點共圓，圓心為G，
∴∠EGC=2∠BDC=90°，
∴EG⊥CG；

（2）解：（1）中結(jié)論仍然成立，理由如下：
延長CG至M，使MG=CG，連接MF，ME，EC，如圖②所示：
在△DCG與△FMG中，$\left\{\begin{array}{l}{FG=DG}\\{∠MGF=∠CGD}\\{MG=CG}\end{array}\right.$，
∴△DCG≌△FMG（SAS），
∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，
∵四邊形ABCD，
∴BC=CD，AB∥CD，
∴MF∥CD∥AB，MF=CB，
∵FE⊥AB，△BEF是等腰直角三角形，
∴EF⊥MF，BE=EF，
在Rt△MFE與Rt△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{MF=CB}\\{∠MFE=∠EBC}\\{EF=BE}\end{array}\right.$，
∴△MFE≌△CBE（SAS），
∴∠MEF=∠CEB，CE=EM，
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，
∴△MEC為等腰直角三角形，
∵MG=CG，
∴EG=$\frac{1}{2}$MC，EG⊥CG，
∴EG=CG；

（3）解：（1）中的結(jié)論仍然成立．理由如下：
過F作CD的平行線并延長CG交于M點，連接EM、EC，過F作FN⊥AB于N，如圖③所示：
∵FM∥CD，
∴∠GCD=∠GMF
在△DCG與△FMG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CGD=∠MGF}\\{∠GCD=∠GMF}\\{DG=FG}\end{array}\right.$，
∴△DCG≌△FMG（AAS），
∴MF=CD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，AB∥CD，
∴MF∥CD∥AB，MF=CB，
∵FN⊥AB，
∴FN⊥MF，∠NFE=∠EBN，
∴∠MFE=∠EBC，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=EF，
在△MFE與△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{MF=CB}\\{∠MFE=∠EBC}\\{EF=BE}\end{array}\right.$，
∴△MFE≌△CBE（SAS），
∴∠MEF=∠CEB，CE=EM，
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，
∴△MEC為等腰直角三角形，
∵G為CM中點，
∴EG=CG，EG⊥CG．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、四點共圓、圓周角定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．