Question

9．如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連結CP并延長，交AD于E，交BA的延長線于點F．試問：
（1）圖中△APD與哪個三角形全等？并說明理由．
（2）求證：PC²=PE•PF．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質可知：∠CDP=∠ADP，DC=AD，又因為PD=PD，所以△APD全等△CPD；
（2）首先證明∠DAP=∠AFP，從而得到△EPA∽△APE，故PA²=PE•PF，因為PC=PA，所以PC²=PE•PF．

解答 解：（1）△APD≌△CPD．
理由：∵四邊形ABCD為菱形，
∴∠CDP=∠ADP，DC=AD．
在△APD和△CPD中，$\left\{\begin{array}{l}{DC=DA}\\{∠CDP=∠ADP}\\{DP=DP}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△CPD．
（2）∵△APD≌△CPD，
∴∠DCP=∠DAP，PC=PA．
∵DC∥AB，
∴∠DCP=∠AFP．
∴∠DAP=∠AFP．
又∵∠FPA=∠APE，
∴△EPA∽△APE．
∴.$\frac{PA}{PE}=\frac{PF}{PA}$，即PA²=PE•PF．
∴PC²=PE•PF．

點評 本題主要考查的是全等三角形的性質和判定、相似三角形的性質和判定，證得∠DAP=∠AFP是解題的關鍵．