Question

20．△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=12，D是AB的中點，正方形DEFG繞點D轉(zhuǎn)動，交△ABC的兩邊AC、BC于點P、Q．

（1）連接CD，如圖1．求證：△CDP≌△BDQ；
（2）正方形DEFG的對角線DF交BC邊于點M，連接PM，如圖2．設(shè)BQ=x．
①若QM=5，求x的值；
②若BM=a，求x的值（用含a的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出BD=$\frac{1}{2}$AB，CD⊥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB，∠B=45°，再由AAS定理即可得出結(jié)論；
（2）①由（1）可知PC=BQ=x，在Rt△PCM中根據(jù)勾股定理即可得出x的值；
②由BM=a可得出CM=12-a，再由勾股定理即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=12，D是AB的中點，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB，CD⊥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB，∠B=45°，∠ACD=45°，
∴AD=BD．
∵四邊形DEFC是正方形，
∴∠EDG=90°．
∵∠BDQ+∠GDC=90°，∠GDC+∠PDC=90°，
∴∠BDQ=∠PDC．
在△CDP與△BDQ中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠BDQ=∠PDC\\∠B=∠PCD\\ CD=BD\end{array}\right.$，
∴△CDP≌△BDQ（AAS）．

（2）①∵由（1）可知PC=BQ=x，
∴QM=PM=5、PC=x、MC=12-5-x=7-x，
∴在Rt△PCM中PM²=MC²+PC²，即5²=（7-x）²+x²，解得x=3或x=4；
②若BM=a，
∵QM=PM=a-x，PC=x，MC=12-a，
∴（a-x）²=（12-a）²+x²，化簡得：x=$\frac{12a-72}{a}$．

點評 本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形．