Question

7．已知，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)P在直線BC上，點(diǎn)G在直線AD上（P、G不與正方形頂點(diǎn)重合，且在CD的同側(cè)），PD=PG，DF⊥PG于點(diǎn)H，交直線AB于點(diǎn)F，將線段PG繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，連結(jié)EF．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G分別在線段BC與線段AD上時(shí)，直接寫出線段DG與PC的數(shù)量關(guān)系DG=2PC；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G分別在線段BC與線段AD的延長線上時(shí)，請猜想四邊形PEFD是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：DG=2PC，如圖1中，作PM⊥AD于M．只要證明四邊形PMDC是矩形，推出PC=DM，再證明MG=MD即可解決問題．
（2）結(jié)論：如圖2中，作PM⊥AD于M．則四邊形CDMP是矩形，CD=PM，由△ADF≌△MPG，推出DP=PG=PE=PD，再證明DF∥PE，推出四邊形PEFD是平行四邊形，由PD=PE，即可證明四邊形PEFD是菱形．

解答 解：（1）結(jié)論：DG=2PC．
理由：如圖1中，作PM⊥AD于M．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠C=∠CDM=∠DMP=90°，
∴四邊形DCPM是矩形，
∴PC=DM，
∵PD=PG，PM⊥DG，
∴MG=MD，
∴DG=2PC．
故答案為DG=2PC．

（2）結(jié)論：四邊形PEFD是菱形．
理由：如圖2中，作PM⊥AD于M．則四邊形CDMP是矩形，CD=PM，

∵∠DAF=∠PMG=∠DGH=90°，
∴∠ADF+∠AFD=90°，∠G+∠GDH=90°，
∵∠ADF=∠GDH，
∴∠AFD=∠G，
∵AD=CD，CD=PM，
∴AD=PM，
在△ADF和△MPG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFD=∠G}\\{∠FAD=∠PMG}\\{AD=PM}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△MPG，
∴DP=PG=PE=PD，
∵∠FHG=∠EPG=90°，
∴DF∥PE，
∴四邊形PEFD是平行四邊形，
∵PD=PE，
∴四邊形PEFD是菱形．

點(diǎn)評 本題考查旋轉(zhuǎn)變換、等腰三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．