Question

17．如圖，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半徑OA=6．將扇形OAB沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在弧AB上點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，則有下列選項(xiàng)：
①∠ACD=60°；
②CB=6$\sqrt{3}$；
③陰影部分的周長(zhǎng)為12+3π；
④陰影部分的面積為9π-12$\sqrt{3}$．
其中正確的是①③④（填寫(xiě)編號(hào)）．

Answer 1

分析 ①正確，先證明△BOD是等邊三角形，再證明∠BCO=∠BCD=60°即可．
②錯(cuò)誤，在RT△BOC中利用30°性質(zhì)得到BC=4$\sqrt{3}$．
③正確．根據(jù)陰影部分周長(zhǎng)=AC+CD+BD+$\widehat{AB}$的長(zhǎng)=AC+OC+BO+$\widehat{AB}$的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．
④正確．根據(jù)陰影部分面積=S_扇形OAB-2S_△BOC即可解決問(wèn)題．

解答 解：①正確．如圖連接OD．

∵△BCD是由△BCO翻折得到，
∴BO=BD=OD，
∴△ODB是等邊三角形，
∴∠DBO=60°，
∴∠CBO=∠CBD=30°，
∵∠COB=90°，
∴∠OCB=90°-∠CBO=60°=∠BCD，
∴∠ACD=180°-∠BCO-∠BCD=60°，故①正確．
②錯(cuò)誤．在RT△BOC中，∵∠BOC=90°，OB=6，∠OBC=30°，
∴cos30°=$\frac{OB}{BC}$，
∴BC=4$\sqrt{3}$，故②錯(cuò)誤．
③正確．陰影部分周長(zhǎng)=AC+CD+BD+$\widehat{AB}$的長(zhǎng)=AC+OC+BO+$\widehat{AB}$的長(zhǎng)=12+$\frac{90π•6}{180}$=12+3π，故③正確．
④正確．陰影部分面積=S_扇形OAB-2S_△BOC=$\frac{1}{4}$•π•6²-2×$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$=18π-12$\sqrt{3}$，故④正確．
故答案為①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查法則變換、扇形的面積、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)△OBD是等邊三角形，記住畫(huà)出公式、扇形面積公式，屬于中考常考題型．