Question

19．如圖，已知正方形ABCD，直線AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得直線AP，點B關(guān)于直線AP的對稱點為E，連接AE，BE，DE，其中DE交直線AP于點F．

（1）如圖1，當α=20°，∠ADF的度數(shù)為25°；當0°＜α＜45°時，△BEF的形狀是等腰直角三角形；
（2）如圖2，當90°＜α＜180°時，猜測線段AB，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）若正方形ABCD的邊長為6，當α=30°時，DE的長為$3\sqrt{6}+3\sqrt{2}$；當α=120°時，DE的長為$3\sqrt{6}-3\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用軸對稱的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出即可；
（2）由軸對稱的性質(zhì)可得：EF=BF，AE=AB=AD，∠ABF=∠AEF=∠ADF，進而利用勾股定理得出答案；
（3）根據(jù)α=30°，α=120°兩種情況進行解答即可．

解答 解：（1）當α=20°，則∠PAB=∠PAE=20°，AE=AB=AD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAD=130°，
∴∠ADF=25°，
∵點B關(guān)于直線AP的對稱點為E，

∴EF=BF，AE=AB，
∴△AEF和△ABF關(guān)于直線AP對稱，
∴∠3=∠4，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴AE=AD，∠1+∠5=90°，
∴∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠3=∠1+∠5=90°，
∴∠BFD=90°，
∴BF⊥ED，
∵AE=AB，
∴△BEF是等腰直角三角形；
（2）BF²+FD²=2AB²．
理由：如圖2，
連接BD，

由軸對稱的性質(zhì)可得：EF=BF，AE=AB=AD，∠ABF=∠AEF=∠ADF，
則∠BFD=∠BAD=90°，
故BF²+FD²=BD²，
則BF²+FD²=2AB²．
（3）正方形ABCD的邊長為6，當α=30°時，DE=$3\sqrt{6}+3\sqrt{2}$；當α=120°時，DE=$3\sqrt{6}-3\sqrt{2}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)、面積的計算方法；熟練掌握正方形和軸對稱的性質(zhì)得出等腰三角形，進一步得出角之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．