Question

20．如圖，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D（-2，-3）．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式
（2）過(guò)x軸上點(diǎn)E（a，0）（E點(diǎn)在B點(diǎn)的右側(cè)）作直線(xiàn)EF∥BD，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)F，是否存在實(shí)數(shù)a使四邊形BDFE是平行四邊形？如果存在，求出滿(mǎn)足條件的a；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在二次函數(shù)上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸交線(xiàn)段BD于點(diǎn)M，判斷PM有最大值還是有最小值，如有，求出線(xiàn)段PM長(zhǎng)度的最大值或最小值．

Answer 1

分析 （1）把A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式可得二次函數(shù)解析式中b，c的值；
（2）讓二次函數(shù)的y等于0求得拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)B，把B、D兩點(diǎn)代入一次函數(shù)解析式可得直線(xiàn)BD的解析式；得到用a表示的EF的解析式，跟二次函數(shù)解析式組成方程組，得到含y的一元二次方程，進(jìn)而根據(jù)y=-3求得合適的a的值即可；
（3）根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式和直線(xiàn)的解析式，設(shè)出P、M的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出PM=|m²+2m-3-（m-1）|=|m²+m-2|=|（m+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$|，即可求得．

解答 解：（1）將A（-3，0），D（-2，-3）的坐標(biāo)代入y=x²+bx+c得，
$\left\{\begin{array}{l}{9-3b+c=0}\\{4-2b+c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
則該拋物線(xiàn)的解析式為：y=x²+2x-3．    

（2）如圖1，由（1）知，拋物線(xiàn)的解析式為：y=x²+2x-3．
令y=0，則x²+2x-3=0，
得：x₁=-3，x₂=1，
∴B的坐標(biāo)是（1，0），
設(shè)直線(xiàn)BD的解析式為y=kx+b（k≠0），則
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{-2k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)BD的解析式為y=x-1．  
又∵EF∥BD，
∴直線(xiàn)EF的解析式為：y=x-a，
若四邊形BDFE是平行四邊形，
則DF∥x軸，
∴D、F兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，即點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為-3．
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x-3}\\{y=x-a}\end{array}\right.$，得
由y=x-a得，x=y+a，代入方程y=x²+2x-3得，
y²+（2a+1）y+a²+2a-3=0，
解得：y=$\frac{-（2a+1）±\sqrt{13-4a}}{2}$．
令$\frac{-（2a+1）±\sqrt{13-4a}}{2}$=-3，
解得：a₁=1，a₂=3．
當(dāng)a=1時(shí)，E點(diǎn)的坐標(biāo)（1，0），這與B點(diǎn)重合，舍去；
∴當(dāng)a=3時(shí)，E點(diǎn)的坐標(biāo)（3，0），符合題意．
∴存在實(shí)數(shù)a=3，使四邊形BDFE是平行四邊形．

（3）設(shè)M（m，m-1），則P（m，m²+2m-3），
∴PM=|m²+2m-3-（m-1）|=|m²+m-2|=|（m+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$|，
∴當(dāng)m=-$\frac{1}{2}$時(shí)，PM有最大值，最大值為$\frac{9}{4}$，
此時(shí)P（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）時(shí)，線(xiàn)段PE長(zhǎng)度有最大值，最大值是$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題綜合考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，二次函數(shù)最值的求法以及平行四邊形的判定和性質(zhì)．平面直角坐標(biāo)系中，兩直線(xiàn)平行，一次項(xiàng)系數(shù)的值相等；兩個(gè)點(diǎn)所在的直線(xiàn)平行，這兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等．