Question

2．如圖，在正方形ABCD中，E是邊AD上一點(diǎn)，將△ABE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°到△ADF的位置．已知AF=5，BE=13
（1）求DE的長(zhǎng)度； 
（2）BE與DF是否垂直？說(shuō)明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得DF=BE=13，AE=AF=5，再在Rt△ADF中利用勾股定理可計(jì)算出AD=12，所以DE=AD-AE=7；
（2）延長(zhǎng)BE交DF于H，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ABE=∠ADF，由于∠ADF+∠F=90°，則∠ABE+∠F=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠FHB=90°，于是可判斷BH⊥DF．

解答 解：（1）∵△ABE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°得到△ADF，
∴DF=BE=13，AE=AF=5，
在Rt△ADF中，∵AF=3，DF=13，
∴AD=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∴DE=AD-AE=12-5=7；
（2）BE與DF垂直．理由如下：
延長(zhǎng)BE交DF于H，
∵△ABE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°得到△ADF，
∴∠ABE=∠ADF，
∵∠ADF+∠F=90°，
∴∠ABE+∠F=90°，
∴∠FHB=90°，
∴BH⊥DF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)．