Question

5．已知長(zhǎng)方形的生活小區(qū)OBCD的邊長(zhǎng)分別為40米和130米，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，“創(chuàng)文明城市”宣傳車(chē)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OB運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止，宣傳車(chē)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CD運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D停止，兩車(chē)同時(shí)出發(fā)，速度都是1米/秒；宣傳車(chē)音響半徑可達(dá)25米，（兩點(diǎn)間距離公式：|AB|=$\sqrt{（{x}_{A}-{x}_{B}）^{2}+（{y}_{A}-{y}_{B}）^{2}}$）
（1）求直線OC的解析式；
（2）幾秒時(shí)，△OPQ為等腰三角形？
（3）兩輛宣傳車(chē)的聲音是否會(huì)互相干擾？如果會(huì)，求出受干擾的時(shí)間多長(zhǎng)；如果不會(huì)干擾，寫(xiě)出理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線OC解析式為y=kx，把C坐標(biāo)代入求出k的值，即可確定出直線OC解析式；
（2）分三種情況考慮：OP=PQ，PQ=QO，QO=OP，利用兩點(diǎn)間的距離公式分別求出時(shí)間即可；
（3）兩輛宣傳車(chē)的聲音會(huì)互相干擾，理由為：分別以點(diǎn)P、Q為圓心，25米為半徑的圓，當(dāng)兩圓第一次相切時(shí)，開(kāi)始干擾，當(dāng)兩圓第二次相切時(shí)，干擾結(jié)束，設(shè)當(dāng)t秒時(shí)，兩圓相切，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出方程，求出方程的解得到t的值，即可求出受干擾的時(shí)間．

解答 解：（1）直線OC的解析式為y=kx，
把點(diǎn)C（130，40）代入得，k=$\frac{4}{13}$，
則直線OC的解析式為y=$\frac{4}{13}$x；
（2）∵△OPQ為等腰三角形，
∴OP=PQ或PQ=QO或QO=OP，
第①種：設(shè)t秒時(shí)，OP=PQ；
∴OP²=PQ²，即t²=40²+（130-2t）²，
解得：t=50或t=$\frac{370}{3}$；
第②種：設(shè)t秒時(shí)，PQ=QO；
易得：OP=2DQ，即t=2（130-t），
解得：t=$\frac{260}{3}$；
第③種：設(shè)t秒時(shí)，QO=OP；
∴QO²=OP²，即40²+（130-t）²=t²，
解得：t=$\frac{925}{13}$，
綜上所述，當(dāng)t=50，t=$\frac{370}{3}$，t=$\frac{260}{3}$，t=$\frac{925}{13}$時(shí)，△OPQ為等腰三角形；
（3）會(huì)互相干擾，理由為：
依題意得，分別以點(diǎn)P、Q為圓心，25米為半徑的圓，當(dāng)兩圓第一次相切時(shí)，開(kāi)始干擾，當(dāng)兩圓第二次相切時(shí)，干擾結(jié)束，
設(shè)當(dāng)t秒時(shí)，兩圓相切，
∴PQ=50，即PQ²=2500，
∴40²+（130-2t）²=2500，
解得：t₁=5，t₂=8，
∴t₂-t₁=8-5=3（秒），
答：互相干擾時(shí)間為3秒．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩點(diǎn)間的距離公式，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式是解本題的關(guān)鍵．