Question

10．如圖，兩塊相同的三角形完全重合在一起，∠A=30°，AC=12，把上面一塊繞直角頂點B逆時針旋轉(zhuǎn)到△A′BC′的位置，點C在AC上，A′C與AB相交于點D，則C′D=3．

Answer 1

分析 根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系，在Rt△ABC中得到BC=$\frac{1}{2}$AC=6，利用互余得到∠C=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BC′=BC=6，∠BC′A=∠C=60°，則可判斷△BCC′為等邊三角形，所以∠CBC′=60°，于是有∠ABC=30°，∠BDC′=90°，然后在Rt△BDC′中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系易得C′D的長．

解答 解：在Rt△ABC中，∵∠A=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×12=6，∠C=60°，
∵△ABC繞直角頂點B逆時針旋轉(zhuǎn)到△A′BC′的位置，點C′在AC上，
∴BC′=BC=6，∠BC′A=∠C=60°，
∴△BCC′為等邊三角形，
∴∠CBC′=60°，
∴∠ABC=90°-60°=30°，
∴∠BDC′=90°，
在Rt△BDC′中，∵∠DBC′=30°，
∴C′D=$\frac{1}{2}$BC′=$\frac{1}{2}$×6=3．
故答案為3．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．