Question

3．設(shè)△ABC是正三角形，點(diǎn)P在△ABC外，且與點(diǎn)A在直線(xiàn)BC異側(cè)，∠BPC=120°，求證：PA=PB+PC．

Answer 1

分析 先延長(zhǎng)BP至E，使PE=PC，連接CE，證△CPE為等邊三角形得CP═PE=CE，再證△ACP≌△BCE得AP=BE，可得PA=PB+PC．

解答 解：如圖，延長(zhǎng)BP至E，使PE=PC，連接CE，
∵∠BAC+∠BPC=180°，且∠BAC=60°，
∴∠BPC=120°，
∴∠CPE=60°，又PE=PC，
∴△CPE為等邊三角形，
∴CP=PE=CE，∠PCE=60°，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AC=BC，∠BCA=60°，
∴∠ACB=∠PCE，
∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP，
即：∠ACP=∠BCE，
∵在△ACP和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACP=∠BCE}\\{PC=PE}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△BCE（SAS），
∴AP=BE，
∵BE=BP+PE，
∴PA=PB+PC．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定，通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造等邊三角形為兩三角形全等提供條件是關(guān)鍵．