Question

1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，△OAB如圖放置，點P是AB邊上的一點，過點P的反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}（k＞0，x＞0）$與OA邊交于點E，連接OP．
（1）如圖1，若點A的坐標為（3，4），點B的坐標為（5，0），且△OPB的面積為5，求直線AB和反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的解析式；
（2）如圖2，若∠AOB=60°，過P作PC∥OA，與OB交于點C，若OE=4，并且△OPC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的解析式及點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）過點P作PQ⊥x軸交x軸于點Q，利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，根據(jù)△OPB的面積為5求出PQ的長，代入直線AB的解析式可得出P點坐標，進而可得出反比例函數(shù)的解析式；
（2）過點E作EF⊥x軸交x軸于點F，過點P作PS⊥x軸交x軸于點S，利用銳角三角函數(shù)的定義求出OF及EF的長，故可得出反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)△OPC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$求出OC•PS的長，再由銳角三角函數(shù)的定義得出PS的長，進而可得出P點坐標．

解答 解：（1）如圖1，過點P作PQ⊥x軸交x軸于點Q，
∵點A的坐標為（3，4），點B的坐標為（5，0），
∴設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}3k+b=4\\ 5k+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ b=10\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=-2x+10．
∵點B的坐標為（5，0），且△OPB的面積為5，
∴PQ=2，點P縱坐標為2．                       
∵點P在直線AB上-2x+10=2，解得x=4，
∴點P坐標為（4，2）
∴此反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{8}{x}$；

（2）如圖2，過點E作EF⊥x軸交x軸于點F，過點P作PS⊥x軸交x軸于點S，
∵∠AOB=60°，∠EFO=90°，OE=4，
∴OF=2，EF=2$\sqrt{3}$，
∴此反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$．
∵S_△OCP=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$OC•PS，
∴OC•PS=3$\sqrt{3}$．
∵OS•PS=4$\sqrt{3}$，
∴CS•PS=$\sqrt{3}$．
∵∠AOB=60°  PC∥OA，
∴∠PCS=60°，
∴PS=$\sqrt{3}$CS，
∴CS=1．
∴點P坐標為（4，$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義求解是解答此題的關鍵．