Question

2．如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦DE⊥AB分別交⊙O于點(diǎn)D、E，交AB于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)F，P是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PC=PF．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若AD²=DE•DF，求證：CF=EF；
（3）在（2）的條件下，若OH=1，AH=2，求線段PC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，證得∠PCF+∠AC0=90°，即OC⊥PC，即可證得結(jié)論；
（2）乘積的形式通�？梢赞D(zhuǎn)化為比例的形式，通過證明三角形相似得出．
（3）首先求出DF、DE，再根據(jù)PC²=PD•PE，即（PD+DF）²=PD（PD+DE）計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC，
∵PC=PF，
∴∠PCF=∠PFC，
∵DE⊥AB，
∴∠OAC+∠AFH=90°，
∵∠PDF=∠AFH，
∴∠PFC+∠OAC=90°，
∴∠PCF+∠AC0=90°，
即OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切線；

（2）連接AE．
∵AD²=DE•DF，
∴AD：ED=FD：AD，
∵∠ADF=∠ADE，
∴△DAF∽△DEA，
∴∠DAF=∠DEA，
∴點(diǎn)D是劣弧AC的中點(diǎn)，
∵DE⊥AB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AE}$，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{AE}$，
∴∠ACE=∠DEC，
∴CF=EF；

（3）解：由（2）可知：AD=CD，∠ACD=∠CAD．
∵∠PCD=∠CAD，
∵OH=1，AH=2，
∴OD=3，DH=2√2，DE=2DH=4√2，AD=2√3，
∵AD²=DE•DF⇒（2√3）²=4√2×DF．
∴DF=3√2/2，
∵PC=PF，PC²=PD•PE⇒PF²=PD•PE，
∴（PD+DF）²=PD（PD+DE），
∴2PD×（3√2/2）+（3√2/2）²=PD×4√2，
∴PD=9√2/4，
∴PC²=PD（PD+DE）=（9√2/4）²+（9√2/4）×4√2，
∴PC=$\frac{15\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、切割線定理、垂徑定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)，尋找相似三角形是突破點(diǎn)，屬于中考常考題型．