Question

10．如圖，已知△ABC，分別以AC，BC，AB為邊，作等邊三角形ACE，BCD和ABF，連接AD，BE和CF交于點(diǎn)P，求證：PB+PC+PA=BE．

Answer 1

分析 證明△ECB≌△ACD，得到∠CEB=∠CAD，借助內(nèi)角和定理可證∠APE=60°，同理∠CPE=∠EAC=60°，在PE上截取PH=PC，連接HC，證明△CPA≌△CHE，即可解決問題．

解答 證明：∵△ACE和△BCD是等邊三角形
∴EC=AC，BC=DC，
∠ACE=∠BCD=60°，
∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD；
在△ECB和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=AC}\\{∠ECB=∠ACD}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△ECB≌△ACD（SAS），
∴∠CEB=∠CAD；
設(shè)BE與AC交于Q，
又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°
∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°．
同理可得∠CPE=∠EAC=60°，
在PE上截取PH=PC，連接HC，
則△PCH為等邊三角形，
∴HC=PC，∠CHP=60°，
∴∠CHE=120°；
又∵∠APE=∠CPE=60°，
∴∠CPA=120°，
∴∠CPA=∠CHE；
在△CPA和△CHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CPA=∠CHE}\\{∠CAP=∠CEH}\\{PC=HC}\end{array}\right.$，
∴△CPA≌△CHE（AAS），
∴AP=EH，
∴PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE．

點(diǎn)評 本題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用；證明∠APE=∠CPE=∠EAC=60°是解決問題的關(guān)鍵，本題對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．