Question

19．如圖，在△ABC中，AB=3AC，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，求證：AD=DE．

Answer 1

分析 延長AC、BE交于F，取CF的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，首先根據(jù)ASA證明△ABE≌△AFE，則AB=AF，BE=FE，再根據(jù)AB=3AC，易知AC=CG=FG，根據(jù)平行線等分線段定理和逆定理可證明結(jié)論．

解答 證明：如圖，延長AC、BE交于F，取CF的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，
在△ABE和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠FAE}\\{AE=AE}\\{∠BEA=∠FEA=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AFE（ASA），
∴AB=AF，BE=FE，
又∵AB=3AC，
∴AF=3AC，
∴CF=2AC，
又∵CG=FG，
∴AC=CG=FG
在△BCF中，
∵CG=FG，BE=FE，
∴EG∥BC，
又∵AC=CG，
∴AD=DE．

點(diǎn)評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線等分線段定理和逆定理，證明EG∥BC是解決問題的關(guān)鍵．