Question

11．四邊形ABCD中，BD是∠ABC的平分線，∠A+∠C=180°，求證：DA=CD．

Answer 1

分析 首先過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，過點(diǎn)D作DF⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于F，由BD平分∠ABC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得DE=DF，又由∠BAD+∠C=180°，得出∠FAD=∠C，即可判定Rt△CDE≌Rt△ADF，則可證得．

解答 證明：過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，過點(diǎn)D作DF⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于F，
∵BD平分∠ABC，
∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠FAD=180°，
∴∠FAD=∠C，
在RtCDE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEC=∠F=90°}\\{∠FAD=∠C}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），
∴DA=DC．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了角平分線的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．