Question

1．定義：如圖1，平面上兩條直線AB、CD相交于點(diǎn)O，對于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，點(diǎn)M到直線AB、CD的距離分別為p、q，則稱有序?qū)崝?shù)對（p，q）是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”．根據(jù)上述定義，“距離坐標(biāo)”為（0，0）點(diǎn)有1個，即點(diǎn)O．
（1）“距離坐標(biāo)”為（1，0）點(diǎn)有2個；
（2）如圖2，若點(diǎn)M在過點(diǎn)O且與直線CD垂直的直線l上時，點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”為（p，q），且∠BOD=120°．請畫出圖形，并直接寫出p，q的關(guān)系式；
（3）如圖3，點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”為（1，$\sqrt{3}$），且∠AOB=30°，求OM的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩條相交直線把平面分成四部分，在每一個部分內(nèi)都存在一個滿足要求的距離坐標(biāo)解答；
（2）過M作MN⊥AB于N，根據(jù)已知得出OM=n，MN=m，求出∠NOM=30°，根據(jù)銳角三角函數(shù)得出cos30°=$\frac{ON}{OM}=\frac{p}{q}$，求出即可；
（3）分別作點(diǎn)M關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)E、F，連接EF、OE、OF、EM、FM，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可．

解答 解：（1）“距離坐標(biāo)”為（1，0）點(diǎn)有2個；
故答案為：2；
（2）過M作MN⊥AB于N，如圖2：

∵直線l⊥CD于O，∠BOD=120°，
∴∠MON=30°．
∵ON=p，OM=q，
∴$p=\frac{\sqrt{3}}{2}q$；
（3）分別作點(diǎn)M關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)E、F，連接EF、OE、OF、EM、FM，如圖3：

∴△OEC≌△OMC，△OFD≌△OMD．
∴∠AOM=∠AOE，∠BOM=∠BOF，OM=OE=OF，
∴∠EOF=60°，
∴OM=OE=OF=EF，
∵M(jìn)D=1，MC=$\sqrt{3}$，
∴MF=2，ME=$2\sqrt{3}$，
∵∠AOB=30°，
∴∠CMD=150°，
過F做FG⊥CM，交CM延長線于G，如圖2：
∴∠FMG=30°．
在Rt△FMG中，F(xiàn)G=1，MG=$\sqrt{3}$，
在Rt△EFG中，F(xiàn)G=1，EG=$3\sqrt{3}$，
∴EF=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+1}=2\sqrt{7}$，
∴OM=$2\sqrt{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了幾何變換問題，關(guān)鍵是根據(jù)銳角三角函數(shù)值，含30度角的直角三角形的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的動手操作能力和計算能力，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．