Question

3．如圖是數(shù)軸的一部分，其單位長(zhǎng)度為a，已知△ABC周長(zhǎng)為12a，且三邊為a的整數(shù)倍．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出△ABC的三邊長(zhǎng)的所有情況（三角形全等算同一種情況）；
（2）若△ABC的三邊互不相等，
①用直尺和圓規(guī)作出該三角形，（保留作圖痕跡，不必寫(xiě)出作法）；
②記該△ABC外接圓的面積為S_圓，△ABC的面積為S_△，設(shè)y=$\frac{{S}_{圓}}{{S}_{△}}$，求y的值．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)槿�邊為a的整數(shù)倍，根據(jù)周長(zhǎng)寫(xiě)出三邊的所有情況；
（2）①作射線，在射線上截取CB=3a，分別以C、B為圓心，以4a、5a為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)A，作出△ABC即是所求作的三角形；
②先證明這個(gè)三角形是直角三角形，其斜邊就是外接圓的直徑，分別計(jì)算S_圓、S_△，并計(jì)算其比值即可．

解答 解：（1）△ABC的三邊長(zhǎng)的所有情況：（4a，4a，4a）、（3a，4a，5a）、（5a，5a，2a）；
（2）①作圖如下：


②由題意可得，（3a）²+（4a）²=（5a）²，
∴AB²+BC²=AC²，
則△ABC為直角三角形，且∠ACB=90°，
則AB為外接圓的直徑，
∴S_△ABC=$\frac{AC•BC}{2}$=$\frac{4a•3a}{2}$=6a²，
而S_圓=π$（\frac{AB}{2}）^{2}$=$π（\frac{5a}{2}）^{2}$=$\frac{25}{4}$πa²，
∴$\frac{S_圓}{S_△}=\frac{25}{24}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)軸、三角形的外接圓、已知三邊作三角形、勾股定理的逆定理，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系和勾股定理的逆定理，明確直角三角形中外接圓的直徑是斜邊的長(zhǎng)，并熟記圓和直角三角形的面積公式．