Question

4．如圖，已知點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，
①求證：BE=AD；
②求證：CF=CH；
③判斷FH與BD的位置關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 ①由兩三角形為等邊三角形，得到兩對(duì)邊相等，且?jiàn)A角相等，利用SAS得到三角形ACH與三角形BCF全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可的值；
②利用AAS得到三角形ACH與三角形BCF全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
③FH與BD平行，由兩邊相等且一角為60°的三角形為等邊三角形得到三角形FCH為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行即可得證．

解答 證明：①∵△ABC與△ECD都為等邊三角形，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠HAC=∠FBC，
∵∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACH=60°，
在△ACH和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACH=∠BCF=60°}\\{∠HAC=∠FBC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACH≌△BCF（AAS），
∴CF=CH；
③FH∥BD，理由為：
∵CF=CH，且∠FCH=60°，
∴△CFH為等邊三角形，
∴∠HFC=∠ACB=60°，
∴FH∥BD．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．