Question

4．△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是射線BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合）．連接AD，以AD為一邊．作等邊三角形ADE，使點(diǎn)B，E位于直線AD的兩側(cè)．連接CE．
（1）如圖1，若點(diǎn)D在邊BC上．則AB．CE的位置關(guān)系是AB∥CE，線段BD，CE的數(shù)量關(guān)系是BD=CE；
（2）如圖2，若點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，則（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由
（3）若AB=6，CD=2，請(qǐng)直接寫出線段DE的長(zhǎng)
（4）若四邊形ABDE的面積是△ABC面積的$\frac{13}{4}$倍，請(qǐng)直接寫出tan∠ADB的值．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：AB∥CE，BD=CE．只要證明△BAD≌△CAE即可．
（2）若點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，則（1）中的兩個(gè)結(jié)論成立．證明方法類似．
（3）分兩種情形討論，如圖3中，作AF⊥BC于F．如圖3中，作AF⊥BC于F，在Rt△ADF中，根據(jù)DE=AD=$\sqrt{A{F}^{2}+D{F}^{2}}$計(jì)算即可．
（4）由題意四邊形ABDE的面積是△ABC面積的$\frac{13}{4}$倍，點(diǎn)D只有在BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3右圖中，設(shè)BC=2a，CD=ka，則AF=$\sqrt{3}$a，AD=$\sqrt{3{a}^{2}+（a+ka）^{2}}$，可得S_{四邊形ABDE}=S_△ABD+S_△AED=$\frac{1}{2}$•（2a+Ka）•$\sqrt{3}$a+$\frac{\sqrt{3}}{4}$•[3a²+（a+ka）²]，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（2a）²=$\sqrt{3}$a²，由題意$\frac{1}{2}$•（2a+Ka）•$\sqrt{3}$a+$\frac{\sqrt{3}}{4}$•[3a²+（a+ka）²]=$\frac{13}{4}$•$\sqrt{3}$a²，
整理得k²+4k-5=0，解得k=1，由此即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，

∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠BAC=∠B=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ACE=∠B=60°，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AB∥CE，
故答案為AB∥CE，BD=CE．

（2）若點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，則（1）中的兩個(gè)結(jié)論成立．
理由：如圖2中，

∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠BAC=∠B=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ACE=∠B=60°，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AB∥CE，

（3）如圖3中，作AF⊥BC于F．

①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，在Rt△ADF中，易知AD=3$\sqrt{3}$，DF=1，DE=AD=$\sqrt{A{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，在Rt△ADF中，易知AD=3$\sqrt{3}$，DF=5，如圖3中，作AF⊥BC于F．
$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+{5}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．

（4）由題意四邊形ABDE的面積是△ABC面積的$\frac{13}{4}$倍，點(diǎn)D只有在BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3右圖中，設(shè)BC=2a，CD=ka，則AF=$\sqrt{3}$a，AD=$\sqrt{3{a}^{2}+（a+ka）^{2}}$，
∴S_{四邊形ABDE}=S_△ABD+S_△AED=$\frac{1}{2}$•（2a+Ka）•$\sqrt{3}$a+$\frac{\sqrt{3}}{4}$•[3a²+（a+ka）²]，
∵S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（2a）²=$\sqrt{3}$a²，
由題意$\frac{1}{2}$•（2a+Ka）•$\sqrt{3}$a+$\frac{\sqrt{3}}{4}$•[3a²+（a+ka）²]=$\frac{13}{4}$•$\sqrt{3}$a²，
整理得k²+4k-5=0，解得k=1，k=-5（舍），
∴tan∠ADB=$\frac{AF}{DF}$=$\frac{\sqrt{3}a}{2a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．