Question

1．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，b）、點(diǎn)B（a，0）、點(diǎn)D（d，0）且a、b、c滿足$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{b-3}$+（2-d）²=0，DE⊥x軸且∠BED=∠ABD，BE交y軸于點(diǎn)C，AE交x軸于點(diǎn)F．
（1）求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)；
（2）求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；
（3）如圖，過P（0，-1）作x軸的平行線，在該平行線上有一點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在P的右側(cè)）使∠QEM=45°，QE交x軸于N，ME交y軸正半軸于M，求$\frac{AM-MQ}{PQ}$的值．

Answer 1

分析 （1）由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得a、b、d的值，可求得A、B、D的坐標(biāo)；
（2）由條件可證明△ABO≌△BED，可求得DE和BD的長，可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，再求得直線AE的解析式，可求得F點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）過E作EG⊥OA于點(diǎn)G，EH⊥PQ于點(diǎn)Q，可證明四邊形GEHP為正方形，在GA上截GI=QH，可證明△IGE≌△QHE，可證得∠IEM=∠MEQ=45°，可證明△EIM≌△EQM，可得到IM=MQ，再結(jié)合條件可求得PH=AI=PQ，可求得答案．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{b-3}$+（2-d）²=0，
∴a=-1，b=3，d=2，
∴A（0，3），B（-1，0），D（2，0）；
（2）∵A（0，3），B（-1，0），D（2，0），
∴OB=1，OD=2，OA=3，
∴AO=BD，
在△ABO和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠BED}\\{∠AOB=∠BDE=90°}\\{AO=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BED（AAS），
∴DE=BO=1，
∴E（2，1），
設(shè)直線AE解析式為y=kx+b，如圖1，

把A、E坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{3=b}\\{1=2k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AE的解析式為y=-x+3，
令y=0，可解得x=3，
∴F（3，0）；
（3）過E作EG⊥OA，EH⊥PQ，垂足分別為G、H，在GA上截取GI=QH，如圖2，

∵E（2，1），P（-1，0），
∴GE=GP=GE=PH=2，
∴四邊形GEHP為正方形，
∴∠IGE=∠EHQ=90°，
在Rt△IGE和Rt△QHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{GE=HE}\\{∠IGE=∠EHQ}\\{IG=QH}\end{array}\right.$
∴△IGE≌△QHE（SAS），
∴IE=EQ，∠1=∠2，
∵∠QEM=45°，
∴∠2+∠3=45°，
∴∠1+∠3=45°，
∴∠IEM=∠QEM，
在△EIM和△EQM中，
$\left\{\begin{array}{l}{IE=QE}\\{∠IEM=∠QEM}\\{ME=ME}\end{array}\right.$，
∴△EIM=EQM（SAS），
∴IM=MQ，
∴AM-MQ=AM-IM=AI，
由（2）可知OA=OF=3，∠AOF=90°，
∴∠A=∠AEG=45°，
∴PH=GE=GA=IG+AI，
∴AI=GA-IG=PH-QH=PQ，
∴$\frac{AM-MQ}{PQ}$=$\frac{AI}{PQ}$=1．

點(diǎn)評 本題主要考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識點(diǎn)有非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法、正方形的判定和性質(zhì)知．在（1）中掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，在（2）中證明△ABO≌△BED求得DE的長是解題的關(guān)鍵，在（3）中構(gòu)造三角形全等證明AM-MQ=AI=PQ是解題的關(guān)鍵．本題涉及知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大，特別是第（3）問中條件∠QEM=45°角的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵點(diǎn)．