Question

16．如圖，拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A（-1，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C（0，2），過點C且平行于x軸的直線交拋物線于點D，點P是拋物線上一動點．
（1）求拋物線解析式；
（2）點E在x軸上，若以A，E，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點P的坐標；
（3）連結AD交y軸于點F，直線PF交x軸于點G，在直線CD上方的拋物線上是否存在點P，使△PFD的面積是△AFG的面積的15倍？若存在，請直接寫出此時點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數法可得出拋物線的解析式，令y=2可得出點D的坐標；
（2）分兩種情況進行討論，①當AE為一邊時，AE∥PD，②當AE為對角線時，根據平行四邊形對頂點到另一條對角線距離相等，求解點P坐標．
（3）根據“△PFD的面積是△AFG的面積的15倍”進行解答．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+2經過A（-1，0），B（4，0）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（2）當y=2時，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=2，解得：x₁=3，x₂=0（舍去），
即點D坐標為（3，2）．
∵A，E兩點都在x軸上，∴AE有兩種可能：
①如圖1，當AE為一邊時，AE∥PD，
∴P₁（0，2），
②如圖2，當AE為對角線時，根據平行四邊形對頂點到另一條對角線距離相等，
可知P點、D點到直線AE（即x軸）的距離相等，
∴P點的縱坐標為-2，
代入拋物線的解析式：-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-2，
解得：x₁=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，
∴P點的坐標為（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-2），（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2）
綜上所述：P₁（0，2）；P₂（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-2）；P₃（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2）．

（3）存在點P（1，3）或（2，3）符合題意．

點評 此題考查了二次函數的綜合應用，綜合考查了待定系數法求二次函數解析式、平行四邊形的判定與性質、二次函數圖象上點的坐標特征以及三角形的面積計算，解答此類題目要求我們能將所學的知識融會貫通，屬于中考常涉及的題目，同學們一定要留意．