Question

7．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作EF⊥AC于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，DE與DF有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)AC=5，BC=6時(shí)，求AE和DF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先連接OD，由在△ABC中，AB=AC，易證得OD∥AC，又由過(guò)點(diǎn)D作EF⊥AC于點(diǎn)E，即可得OD⊥EF，證得EF是⊙O的切線；
（2）由∠BAC=60°，可得△ABC是等邊三角形，然后由三線合一的性質(zhì)，求得∠CAD=∠BAD=30°，易得∠BAD=∠F，即可證得AD=DF，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)，證得DF=AD=2DE；
（3）首先連接AD，由直角三角形的性質(zhì)，可求得DE的長(zhǎng)，然后再由勾股定理，求得AE的長(zhǎng)，易證得△ODF∽△AEF，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案．

解答 （1）證明：連接OD，
∵AB=AC，
∴∠C=∠OBD，
∵OD=OB，
∴∠1=∠OBD，
∴∠1=∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切線；

（2）DF=2DE．
理由：∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴CD=BD，∠CAD=∠BAD=30°，
∵EF⊥AC，
∴∠F=30°，
∴∠BAD=∠F，
∴AD=DF，
在Rt△AED中，∠CAD=30°，
∴AD=2DE，
即DF=2DE．

（3）解：連接AD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵AB=AC，且BC=6，
∴CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=3，
在Rt△ACD中，AC=AB=5，CD=3，
根據(jù)勾股定理得：AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=4，
又S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•ED=$\frac{1}{2}$AD•CD，
即$\frac{1}{2}$×5×ED=$\frac{1}{2}$×4×3，
∴ED=$\frac{12}{5}$，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{16}{5}$；
∵OD∥AC，
∴△ODF∽△AEF，
∴$\frac{OD}{AE}$=$\frac{DF}{EF}$，
∴OD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{16}{5}}$=$\frac{DF}{DF+\frac{12}{5}}$，
解得：DF=$\frac{60}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．