Question

13．在△ABC中，AB≠AC，分別以AB，AC為邊作等腰△ABD和△ACE，AD=AB，AC=AE，且∠ACB=∠BAD=∠CAE=α，連接DE，交CA延長線于點M，求證：M為DE中點．

Answer 1

分析 延長AM到F使AF=BC，連接DF，過E作EG∥DF交CM于G，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和平角的定義得到∠ABC=∠DAF=180°-∠BAC，推出△ADF≌△ABC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=AC，∠F=∠ACB=α，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AGE=∠F=α，于是得到∠CAE=∠AGE，求得AE=EG，等量代換得到DF=EG，證得△DFM≌△GEM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：延長AM到F使AF=BC，連接DF，過E作EG∥DF交CM于G，
∵∠DAB=∠ACB=α，
∵∠ABC=∠DAF=180°-∠BAC，
在△ADF與△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAF=∠ABC}\\{AF=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ABC，
∴DF=AC，∠F=∠ACB=α，
∵EG∥DF，
∴∠AGE=∠F=α，
∴∠CAE=∠AGE，
∴AE=EG，
∴DF=EG，
在△DFM與△EMG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠AGE}\\{∠DMF=∠GME}\\{DF=EG}\end{array}\right.$，
∴△DFM≌△GEM，
∴DM=EM，
∴M為DE中點．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．