Question

6．如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BP與∠ACD的平分線CP交于P點．
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，求∠P的度數(shù)；
（2）若∠A=80°，則∠P的度數(shù)為40°；
（3）∠A與∠P之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并加以說明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和求得∠A，由BP是∠ABC的平分線，CP是∠ACD的平分線，可得∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，然后由三角形外角的性質(zhì)求得∠P=$\frac{1}{2}$∠A；
（2）BP是∠ABC的平分線，CP是∠ACD的平分線，可得∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，然后由三角形外角的性質(zhì)求得∠P=$\frac{1}{2}$∠A；
（3）運用三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和以及角平分線的概念，推導(dǎo)得出∠P和∠A之間的關(guān)系．

解答 解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，且∠ABC=50°，∠ACB=70°，
∴∠A=60°．
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC=110°．
∵∠ABC、∠ACD的平分線交于點P，
∴∠PBC=25°，∠PCD=55°，
∵∠PCD是△PBC的外角，
∴∠P=∠PCD-∠PBC=30°；

（2）∵∠PCD是△PBC的外角，
∴∠P=∠PCD-∠PBC．
∵∠ABC、∠ACD的平分線交于點P，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD．
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠P=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）-$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠A=40°；
故答案為：40°．

（3）∠P=$\frac{1}{2}$∠A．
∵∠ABC的平分線與△ABC的外角∠ACD的平分線交于點P，
∴∠ABP=∠CBP（設(shè)為α），∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD；
∵∠ACD=∠A+∠ABC=∠A+2α，
∴∠PCD=$\frac{1}{2}$∠A+α；
又∵∠PCD=∠P+α，
∴∠P=$\frac{1}{2}$∠A．

點評 此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的內(nèi)角和是180°．此題還考查了三角形的外角的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角．