Question

15．如圖，AB為⊙O直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，∠ACB的平方線交⊙O于點(diǎn)D，若AB=10，AC=6，則CD的長(zhǎng)為（　�。�

• A． 7
• B． 7$\sqrt{2}$
• C． 8
• D． 8$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 作DF⊥CA，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，作DG⊥CB于點(diǎn)G，連接DA，DB．由CD平分∠ACB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DF=DG，由HL證明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，從而求出CD．

解答 解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延長(zhǎng)線上，作DG⊥CB于點(diǎn)G，連接DA，DB．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴DF=DG，弧AD=弧BD，
∴DA=DB．
在Rt△AFD和Rt△BGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AD}\\{DF=DG}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△BGD（HL），
∴AF=BG．
在△CDF和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠GCD}\\{∠CFD=∠DGC}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△CDG（AAS），
∴CF=CG．
∵AC=6，AB=10，
∴BC=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴AF=1，
∴CF=7，
∵△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=7$\sqrt{2}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓周角的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的對(duì)等關(guān)系，全等三角形的判定，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用．關(guān)鍵是正確作出輔助線．