Question

8．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC，點(diǎn)D為優(yōu)弧上的一動(dòng)點(diǎn)，連接DA、DB、DC，DA交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作PA∥BC，交DB延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）當(dāng)四邊形ABDC為等腰梯形，且∠ABC=30°時(shí)，求∠APB的度數(shù)？

Answer 1

分析 （1）連接OA，OB，OC，根據(jù)等邊對(duì)等角得∠ABC=∠ACB，再根據(jù)圓周角定理得∠AOB=∠AOC，進(jìn)而得出OA⊥PA，從而證明PA是⊙O的切線；
（2）分兩種情況：①當(dāng)BD∥AC時(shí)，根據(jù)∠ABC=30°，得∠ABC=∠ACB=30°，則∠BAC=120°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠P=∠CBD=30°；
②當(dāng)AB∥CD時(shí)，由 ①得，∠BAC=120°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ACD=60°，可證明△AOC是等邊三角形，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90度，得出∠CBD=90°，即可得出∠P=90°或30°．

解答 （1）證明：連接OA，OB，OC．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
又∠AOB=2∠ACB，
∠AOC=2∠ABC，
∴∠AOB=∠AOC．
∴OA⊥BC．     
又∵PA∥BC，
∴OA⊥PA．
∴PA是⊙O的切線．  
（2）解：分兩種情況．
①當(dāng)BD∥AC時(shí)，
∵∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=30°．
∴∠BAC=120°．  
∵BD∥AC，
∴∠ABD=60°．
∴∠CBD=30°．   
又∵PA∥BC，
∴∠P=∠CBD=30°．            
②當(dāng)AB∥CD時(shí)，
由 ①得，∠BAC=120°．
∵AB∥CD，
∴∠ACD=60°．
又∵∠AOC=2∠ABC=60°，
OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形．              
∴∠ACO=60°．
∴CD是⊙O的直徑．
∴∠CBD=90°．                       
又∵PA∥BC，
∴∠P=∠CBD=90°．                    
∴∠P=90°或30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，等腰梯形的性質(zhì)以及圓周角定理，分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．