Question

10．等腰三角形的周長(zhǎng)為5（2+$\sqrt{3}$），頂角是底角的4倍，求各角與各邊的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰三角形頂角是底角的4倍，可以求得各內(nèi)角的度數(shù)，作輔助線AD⊥BC，找出三邊之間的關(guān)系，再根據(jù)等腰三角形的周長(zhǎng)為5（2+$\sqrt{3}$），可以求得各邊的長(zhǎng)，從而可以解答本題．

解答 解：∵腰三角形頂角是底角的4倍，
∴設(shè)該等腰三角形的底角為x，則頂角為4x．
∴x+x+4x=180°．
解得x=30°，
4x=120°．
如下圖所示：AB=AC，∠B=∠C=30°，作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D．

∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°．
∵AB=AC，∠B=∠C=30°，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}BC$，BD=ABcos30°．
∵等腰三角形ABC的周長(zhǎng)為5（2+$\sqrt{3}$），
∴AB+2ABcos30°+AC=5（2+$\sqrt{3}$）．
解得，AB=AC=5，BC=5$\sqrt{3}$．
即該等腰三角形的各角分別為：30°，30°，120°，各邊分別為：5，5，5$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出所求問題需要的條件，明確各個(gè)量之間的關(guān)系．