Question

18．如圖，等邊△ABC的邊長為4cm，動點D從點B出發(fā)，沿射線BC方向移動，以AD為邊作等邊△ADE．
（1）如圖①，在點D從點B開始移動至點C的過程中，
①△ADE的面積是否存在最大值或最小值？若存在，直接寫出這個最大值或最小值；若不存在，說明理由；
②求點E移動的路徑長．
（2）如圖②，當(dāng)點D經(jīng)過點C，并在繼續(xù)移動的過程中，點E能否移動至直線AB上？為什么？

Answer 1

分析 （1）①當(dāng)AD=AB時，△ADE的面積最大，得出此時面積的值即可；當(dāng)AD為△ABC的高時，△ADE的面積最小，得出此時面積的值即可；
②連接CE，得出點E的移動距離為CE，利用全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；
（2）連接CE，利用等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)得出點E不能移動至直線AB上．

解答 解：（1）①當(dāng)AD=AB時，△ADE的面積最大，面積為$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$cm²；
當(dāng)AD為△ABC的高時，△ADE的面積最小，面積為：$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×3=3\sqrt{3}c{m}^{2}$；
②如圖①，連接CE，

∵△ABC與△ADE都是等邊三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD與△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠B=60°，
∴CE∥AB，即點E在經(jīng)過點C且與AB平行的直線上移動，
當(dāng)點D從點B出發(fā)時，此時點E與點C重合，
∴點E移動的起點為點C，
當(dāng)點D到點C停止移動時，此時有AD=AC，
∴在△ACE中，有AC=AE，∠ACE=60°，
∴△ACE是等邊三角形，
∴CE=AC=4cm，即點E移動的路徑長為4cm；
（2）點E不能移動至直線AB上，
如圖②，連接CE，

∵△ABC與△ADE都是等邊三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD與△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠B=60°，
∴CE∥AB，即點E在經(jīng)過點C且與AB平行的直線上移動，
∴點E不能移動至直線AB上．

點評 此題考查幾何變換問題，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)進行分析．