Question

6．如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中點(diǎn)．將△MDC繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的三角形為△MC′D′，當(dāng)MD（即MD′）與AB交于一點(diǎn)E，MC（即MC′）同時(shí)與AD交于一點(diǎn)F時(shí)，連接EF，求證：EF∥C′D′．

Answer 1

分析 連接BD，AM，首先證明出∠ABD=∠DBC，結(jié)合題干條件得到∠BDC=90°，進(jìn)而得到DC=MD，即可得到△MDC是等邊三角形，四邊形ABMD是菱形，△MAB，△MAD和△MC′D′是等邊三角形，根據(jù)ASA證明△BME≌△AMF，于是得到ME=MF，結(jié)合∠EMF=60°，即可證明△MEF是等邊三角形，可得∠EFM=∠C′=60°，則得EF∥C′D′．

解答 解：（1）連接BD，AM，
∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD，
又∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠C=60°，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠BDC=90°，
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，
∴DM=BM=MC，
∴△MDC是等邊三角形，
∴CD=DM=CM=BM=AD=AB，
∴四邊形ABMD是菱形，
△MAB，△MAD和△MC′D′是等邊三角形，
∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°，
∴∠BME=∠AMF，
在△BME與△AMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠FAM}\\{BM=AM}\\{∠BME=∠AMF}\end{array}\right.$，
∴△BME≌△AMF（ASA），
∴ME=MF，
∵∠EMF=∠DMC=60°，
∴△EMF是等邊三角形，
∴∠FEM=∠EFM=60°，
∴∠EFM=∠C′=60°，
∴EF∥C′D′．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了幾何變換的綜合題，此題涉及到等邊三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰梯形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．