Question

1．如圖，等腰三角形AMN中放置了一個(gè)正六邊形，已知三角形AMN的面積是160平方厘米，那么正六邊形ABCDEF的面積是60平方厘米．

Answer 1

分析 如圖，連接AD、BE、CF，點(diǎn)O是正六邊形的中心，是正六邊形的邊長為a．由S_△AMN=160，可得方程$\frac{1}{2}$×$4\sqrt{3}$a×2a=160，求出a²，再根據(jù)S_{正六邊形ABCDEF}=6×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×a²，即可解決問題．

解答 解：如圖，連接AD、BE、CF，點(diǎn)O是正六邊形的中心，是正六邊形的邊長為a．

∵ABCDEF是正六邊形，
∴∠DAB=∠DAN=60°，△ABO，△BCO，△DCO，△DEO，△EFO，△AOF都是等邊三角形．
∵AM=AN，
∴AD⊥MN，
在RT△AMD中，∵∠ADM=90°，AD=2a，∠AMD=30°，
∴DM=2$\sqrt{3}$a，
∵S_△AMN=160，
∴$\frac{1}{2}$×$4\sqrt{3}$a×2a=160，
∴a²=$\frac{40}{\sqrt{3}}$，
∴S_{正六邊形ABCDEF}=6×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×a²=60．
故答案為60．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正多邊形與圓、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．