Question

1．如圖，將30°的直角三角尺ABC繞直角頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)到ADE的位置，使B點的對應點D落在BC邊上，連接EB、EC，則下列結(jié)論：①∠DAC=∠DCA；②ED為AC的垂直平分線；③∠BED=30°；④ED=2AB．其中正確的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ②③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AB=AC，AC=AE，∠BAC=∠EAC，則可判斷△ABD為等邊三角形，所以∠BAD=∠ADB=60°，則∠EAC=∠BAD=60°，再計算出∠DAC=30°，于是可對①進行判斷；接著證明△AEC為等邊三角形得到EA=EC，加上DA=DC，則根據(jù)線段垂直平分線的判定方法可對②進行判斷；然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得DE平分∠AEC，則∠AED=30°，則可對③進行判斷；接下來證明∠EAD=90°，則利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到ED=2AD，所以ED=2AB，則可對④進行判斷．

解答 解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，
∴∠ABC=60°，
∵△ABC繞直角頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)到ADE的位置，
∴AB=AC，AC=AE，∠BAC=∠EAC，
∴△ABD為等邊三角形，
∴∠BAD=∠ADB=60°，
∴∠EAC=∠BAD=60°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC=30°=∠ACB，
∴∠DAC=∠DCA，所以①正確；
∵AC=AE，∠EAC=60°，
∴△AEC為等邊三角形，
∴EA=EC，
而DA=DC，
∴ED為AC的垂直平分線，所以②正確；
∴DE平分∠AEC，
∴∠AED=30°，
∴∠BED＜30°，所以③錯誤；
∵∠EAD=∠EAC+∠CAD=60°+30°=90°，
在Rt△AED中，∵∠AED=30°，
∴ED=2AD，
∴ED=2AB，所以④正確．
故選B．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的判定．