Question

5．在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4），∠OBA=90°．一條拋物線經(jīng)過O，A，B三點(diǎn)，直線AB與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)Q．
（1）如圖1，求經(jīng)過O，A，B三點(diǎn)的拋物線解析式．
（2）如圖2，在A，B兩點(diǎn)之間的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，連結(jié)AP，BP．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，△ABP的面積S，請求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）如圖3，將△OAB沿射線BA方向平移得到△DEF．在平移過程中，以A，D，Q為頂點(diǎn)的三角形能否成為等腰三角形？如果能，請求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)（點(diǎn)O除外）；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得P點(diǎn)坐標(biāo)，E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)線段的和差，可得PE的長，A到PE的距離，B到PE的距離，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，可得m的值，可得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）根據(jù)等腰三角形，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得a的值，再根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)A（a，0），由勾股定理，得
（a-2）²+4²+2²+4²=a²，
解得a=10，即A（10，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx，
將A、B點(diǎn)坐標(biāo)，得
$\left\{\begin{array}{l}{100a+10b=0}\\{4a+2b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{5}{2}$x；
（2）如圖：
作PC⊥x軸于C點(diǎn)，交AB與E，
AB的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+5，
設(shè)P（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{5}{2}$m），E（m，-$\frac{1}{2}$m+5）．
PE=y_P-y_E=-$\frac{1}{4}$m²+3m-5，
S=$\frac{1}{2}$PE•（x_A-x_E）+$\frac{1}{2}$PE（x_E-x_B）=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{4}$m²+3m-5）×（10-2），
化簡，得
S=-m²+12m-20，當(dāng)m=6時(shí)，S_最大=16，
當(dāng)S取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，6）；
（3）Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，$\frac{5}{2}$），D點(diǎn)在過O點(diǎn)且平行AB的直線上y=-$\frac{1}{2}$x上，設(shè)D（a，-$\frac{1}{2}$a）．
AD²=（10-a）²+$\frac{1}{4}$a²，AQ²=25+$\frac{25}{4}$=$\frac{125}{4}$，QD²=（a-5）²+（-$\frac{1}{2}$a-$\frac{5}{2}$）²．
①當(dāng)AD=AQ時(shí)，（10-a）²+$\frac{1}{4}$a²=$\frac{125}{4}$，解得a₁=11，a₂=5，
當(dāng)a=11時(shí)，-$\frac{1}{2}$a=-$\frac{11}{2}$，即D₁（11，-$\frac{11}{2}$）；當(dāng)a=5時(shí)，-$\frac{1}{2}$a=-$\frac{5}{2}$，即D₂（5，-$\frac{5}{2}$）；
②當(dāng)AD=QD時(shí)，（10-a）²+$\frac{1}{4}$a²=（a-5）²+（-$\frac{1}{2}$a-$\frac{5}{2}$）²，
解得a=$\frac{11}{2}$，-$\frac{1}{2}$a=-$\frac{11}{4}$，即D₄（$\frac{11}{2}$，-$\frac{11}{4}$）
③當(dāng)AQ=QD時(shí)，（a-5）²+（-$\frac{1}{2}$a-$\frac{5}{2}$）²=$\frac{125}{4}$，解得a=6，-$\frac{1}{2}$a=-3，即D₃（6，-3），
綜上所述：以A，D，Q為頂點(diǎn)的三角形能成為等腰三角形，D點(diǎn)的坐標(biāo)為D₃（6，-3），D₂（5，-$\frac{5}{2}$），D₁（11，-$\frac{11}{2}$），D₄（$\frac{11}{2}$，-$\frac{11}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了了二次函數(shù)綜合題，利用勾股定理得出A點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵，又利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；了用自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系得出P，E點(diǎn)坐標(biāo)，利用線段的和差得出PE的長，A到PE的距離，B到PE的距離是解題關(guān)鍵，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)；利用等腰三角形的定義得出關(guān)于a的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．