Question

18．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)B作BD⊥MN，垂足為D，若AD=4，DB=2，則CD=3$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 分點(diǎn)C、D位于AB的異側(cè)和同側(cè)兩種情況考慮，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，利用勾股定理及等腰直角三角形的性質(zhì)求出AB、AC、DE、CE的長度，再由CD=CE+DE及CD=DE-CE可求出CD的長度，此題得解．

解答 解：當(dāng)點(diǎn)C、D位于AB的異側(cè)時，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，如圖1所示．
∵BD⊥MN，
∴∠ADB=90°．
∵∠ACB=90°，
∴點(diǎn)A、B、C、D共圓．
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AD=4，DB=2，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+D{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴△ACB為等腰直角三角形，
∴AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{10}$．
∵∠ADE=∠ABC=45°，
∴△ADE為等腰直角三角形，
∴DE=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=2$\sqrt{2}$．
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，AC=$\sqrt{10}$，AE=2$\sqrt{2}$，
∴CE=$\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴CD=CE+DE=3$\sqrt{2}$；
當(dāng)點(diǎn)C、D在AB的同側(cè)時，如圖2所示．
同理可求出：DE=2$\sqrt{2}$、CE=$\sqrt{2}$，
∴CD=DE-CE=$\sqrt{2}$．
綜上所述：CD的長為3$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$．
故答案為：3$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了勾股定理、圓周角定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)，分點(diǎn)C、D位于AB的異側(cè)和同側(cè)兩種情況考慮是解題的關(guān)鍵．