Question

17．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD為正方形，A（3，0），D（1，1），點B，C在第一象限內．
（1）求點B的坐標；
（2）將正方形ABCD以每秒1個單位的速度沿x中向左平移，設運動時間為t秒，若存在某一時刻t，使在第二象限內點B，D兩點的對應點B′、D′所在直線與y軸交于點E，并且OE=OA，請求出此時t的值以及直線B′D′的解析式；
（3）在（2）的條件下，求出點B′、D′的坐標．

Answer 1

分析 （1）作BM⊥x軸于M，DN⊥x軸于N，先證得△ADN≌△ABM，得出AM=DN，BM=AN，根據A（3，0），D（1，1）得出ON=1，DN=1，OA=3，進而得出OM=4，BM=2，AN=2，從而求得B的坐標．
（2）根據B、D的坐標，利用待定系數法即可求得直線BD的斜率k=$\frac{1}{3}$，然后根據題意即可得出直線B′D′的解析式為y=$\frac{1}{3}$x+3；根據平移的性質，根據B、D的坐標得出B′（4-t，2），D′（1-t，1），代入直線B′D′的解析式即可求得t的值．
（3）根據B′（4-t，2），D′（1-t，1），和t的值即可求得點B′、D′的坐標．

解答 解：（1）作BM⊥x軸于M，DN⊥x軸于N，
∵∠DAB=90°，
∴∠DAN+∠BAM=90°，
∴∠DAN=∠ABM，
在△ADN和△ABM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAN=∠ABM}\\{∠AND=∠AMB=90°}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△ABM（AAS），
∴AM=DN，BM=AN，
∵A（3，0），D（1，1），
∴ON=1，DN=1，OA=3，
∴AN=2，
∴OM=4，BM=2，
∴B（4，2）．

（2）∵B（4，2），D（1，1），
設直線BD的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=1}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$，
解得k=$\frac{1}{3}$，
∵正方形ABCD以每秒1個單位的速度沿x軸向左平移，且OE=OA，
∴直線B′D′的解析式為y=$\frac{1}{3}$x+3，
B′（4-t，2），D′（1-t，1），
∴1=$\frac{1}{3}$（1-t）+3，解得t=7，

（3）∵t=7，B′（4-t，2），D′（1-t，1），
∴B（-3，2），D（-6，1）．

點評 本題是一次函數的綜合題，考查了三角形全等的判定和性質，待定系數法求一次函數的解析式，平移的性質，平行線的性質等，熟悉兩條平行線的斜率相等是解題的關鍵．