Question

1．如圖，在△ABC中，AB=BC，D、E、F分別是BC、AC、AB邊上的中點．
（1）求證：四邊形BDEF是菱形；
（2）若AB=12cm，求菱形BDEF的周長．
（3）如果S_△AEF=1cm²，則S_△ABC=4 cm²（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）可根據(jù)菱形的定義“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”，先證明四邊形BFED是平行四邊形，然后再證明四邊形的鄰邊相等即可；
（2）F是AB的中點，有了AB的長也就求出了菱形的邊長BF的長，那么菱形BDEF的周長也就能求出了；
（3）由EF∥BC，可知△AFE∽△ABC，即可推出$\frac{{S}_{△AFE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{EF}{BC}$）²=$\frac{1}{4}$，由此即可解決問題；

解答 （1）證明：∵D、E、F分別是BC、AC、AB的中點，
∴DE∥AB，EF∥BC，
∴四邊形BDEF是平行四邊形，
又∵DE=$\frac{1}{2}$AB，EF=$\frac{1}{2}$BC，且AB=BC，
∴DE=EF，
∴四邊形BDEF是菱形；

（2）解：∵AB=12cm，F(xiàn)為AB中點，
∴BF=6cm，
∴菱形BDEF的周長為6×4=24cm．

（3）∵EF∥BC，
∴△AFE∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△AFE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{EF}{BC}$）²=$\frac{1}{4}$，
∵S_△AFE=1，
∴S_△ABC=4，
故答案為4．

點評 本題考查菱形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是判斷四邊形BDEF是菱形，靈活運用所學(xué)知識解決問題．