Question

7．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，且BE=2，連結(jié)DE，EF，并以DE，EF為邊作?EFGD，連結(jié)BG，分別交EF和DC于點(diǎn)M，N，則$\frac{BM}{NG}$=$\frac{6}{7}$．

Answer 1

分析 先判定四邊形DEFG是正方形，進(jìn)而得出∠EFG=90°，DG=DE=FG=$\sqrt{5}$，過B作BH⊥EF于H，根據(jù)勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)，求得EM的長，再根據(jù)∠EBM=∠DNG，∠EMB=∠DGN，即可判定△EBM∽△DNG，進(jìn)而得到$\frac{BM}{NG}$=$\frac{EM}{DG}$=$\frac{6}{7}$．

解答 解：∵矩形ABCD中，AB=3，BC=2，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，
∴BF=1，AD=2，
又∵BE=2，
∴AE=BF=1，DE=$\sqrt{5}$=FG，
又∵∠A=∠EBF=90°，
∴△ADE≌△BEF，
∴∠ADE=∠BEF，DE=EF，
又∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠BEF+∠AED=90°，
∴∠DEF=90°，
∴四邊形DEFG是正方形，
∴∠EFG=90°，DG=DE=$\sqrt{5}$，
如圖，過B作BH⊥EF于H，
∵Rt△ABF中，EF=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴BH=$\frac{BF×BE}{EF}$=$\frac{2}{5}\sqrt{5}$，
∴Rt△BFH中，HF=$\sqrt{B{F}^{2}-B{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵BH∥FG，
∴△BHM∽△GFM，
∴$\frac{HM}{FM}$=$\frac{BH}{GF}$=$\frac{\frac{2}{5}\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$，
∴FM=$\frac{5}{7}$×FH=$\frac{\sqrt{5}}{7}$，
∴EM=EF-FM=$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{7}$=$\frac{6}{7}\sqrt{5}$，
∵EB∥DN，EM∥DG，
∴∠EBM=∠DNG，∠EMB=∠DGN，
∴△EBM∽△DNG，
∴$\frac{BM}{NG}$=$\frac{EM}{DG}$=$\frac{\frac{6}{7}\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=$\frac{6}{7}$．
故答案為：$\frac{6}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及正方形的判定的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形和直角三角形，依據(jù)勾股定理以及相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行計(jì)算求解．