Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D、E分別是AB、BC的中點，點F在AC的延長線上，∠FEC=∠B，
（1）CF=DE成立嗎？試說明理由．
（2）若AC=6cm，AB=10cm，求四邊形DCFE的面積．

Answer 1

分析 （1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=BD，再根據等邊對等角可得∠B=∠DCE，然后求出∠FEC=∠DCE，根據等腰三角形三線合一的性質可得∠CED=90°，然后求出∠CED=∠ECF=90°，再利用“角邊角”證明△CDE和△ECF全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可．
（2）由三角形的中位線定理得到DE的長度，再由平行四邊形的面積公式求得．

解答 解：（1）證明：∵∠ACB=90°，點D是AB的中點，
∴CD=BD，
∴∠B=∠DCE，
∵∠FEC=∠B，
∴∠FEC=∠DCE，
∵點E是BC的中點，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠ECF=90°，
在△CDE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CED=∠ECF=90°}\\{CE=EC}\\{∠FEC=∠DCE}\end{array}\right.$
∴△CDE≌△ECF（ASA），
∴CF=DE；

（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴BC=$\sqrt{{AB}^{2}{-AC}^{2}}$=8，
∵點D、E分別是AB、BC的中點，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=3，CE=$\frac{1}{2}BC=4$，
∴S_{四邊形DCFE}=3×4=12．

點評 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，熟記各性質并確定出全等三角形是解題的關鍵．