Question

7．如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是AB延長線上的一點，AE⊥DC交DC的延長線于E，AC平分∠DAE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AB=6，CD=4，求AE的長和tan∠CAD的值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，如圖，由AC平分∠DAE得∠1=∠2，加上∠2=∠3，則∠1=∠3，根據(jù)平行線的判定得到OC∥AE，由于AE⊥CD，于是可得OC⊥CD，然后根據(jù)切線得判斷定理可判斷DE是⊙O的切線；
（2）先證明△DBC∽△DCA，利用相似比得到$\frac{4}{6+BD}$=$\frac{BD}{4}$=$\frac{BC}{AC}$，則可計算出BD=2，$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，在Rt△ACB中，利用正切的定義可得到tan∠CAB=$\frac{1}{2}$；接著利用OC∥AE證明△DOC∽△DAE，利用相似比可計算出AE．

解答 （1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵AC平分∠DAE，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC∥AE，
∵AE⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，即∠3+∠OCB=90°，
∵OC⊥CD，
∴∠OCB+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
∴∠2=∠4，
而∠BDC=∠CDA，
∴△DBC∽△DCA，
∴$\frac{CD}{AD}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BC}{AC}$，即$\frac{4}{6+BD}$=$\frac{BD}{4}$=$\frac{BC}{AC}$，
整理得BD²+6BD-16=0，解得BD=2或BD=-8（舍去），
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
在Rt△ACB中，tan∠CAB=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∵OC∥AE，
∴△DOC∽△DAE，
∴$\frac{OC}{AE}$=$\frac{OD}{AD}$，即$\frac{3}{AE}$=$\frac{5}{8}$，
∴AE=$\frac{24}{5}$，
即AE的長為$\frac{24}{5}$和tan∠CAD的值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．