Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程kx²-（k-1）x-1=0
（1）求證：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)k為何值時(shí)，此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)；
（3）我們定義：若一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x₁、x₂（x₁＞x₂），滿足2＜

x1

x2

＜3，則稱這個(gè)一元二次方程有兩個(gè)“夢(mèng)想根”．如果關(guān)于x的一元二次方程kx²-（k-1）x-1=0有兩個(gè)“夢(mèng)想根”，求k的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：（1）根據(jù)方程的判別式，可得答案；
（2）根據(jù)互為相反數(shù)的和為零，可得關(guān)于k的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（3）根據(jù)方程的夢(mèng)想根，可得不等式組，根據(jù)解不等式組，可得答案．

解答：解：（1）關(guān)于x的一元二次方程kx²-（k-1）x-1=0，
a=k，b=-（k-1），c=-1，
△=b²-4ac=[-（k-1）]²-4k（-1）=k²+2k+1=（k+1）²≥0，
關(guān)于x的一元二次方程kx²-（k-1）x-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）關(guān)于x的一元二次方程kx²-（k-1）x-1=0，
x₁=

k-1+|k+1|

2k

，x₂=

k-1-|k+1|

2k

，
方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，得
x₁+x₂=

k-1+|k+1|

2k

+

k-1-|k+1|

2k

=0，
即

2(k-1)

2k

=0，
解得k=1，
當(dāng)k=1時(shí)，此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)；
（3）當(dāng)k＞0時(shí)，x₁=1，x₂=-

1

k

＜0，不符合題意；
當(dāng)-1≤k＜0時(shí)，x₁=-

1

k

，x₂=1，2＜

x1

x2

＜3，得

- 1 k ＞2 - 1 k ＜3

，
解得-

1

2

＜k＜-

1

3

；
當(dāng)k＜-1時(shí)，x₁=-

1

k

，x₂=1，由2＜

x1

x2

＜3，得

- 1 k ＞2 - 1 k ＜3

，
解得-

1

2

＜k＜-

1

3

不符合題意舍去，
綜上所述：于x的一元二次方程kx²-（k-1）x-1=0有兩個(gè)“夢(mèng)想根”，k的范圍是：-

1

2

＜k＜-

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的判別式，利用了根的判別式，一元二次方程根的公式，解不等式組．