Question

6．已知：平面直角坐標(biāo)系xOy中，第一象限內(nèi)有一動點(diǎn)C（a，b），過點(diǎn)C作CA⊥x軸于點(diǎn)A，CB⊥y軸于點(diǎn)B，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接OE，OF，記S=S_△OEF-S_△ECF，若S=-$\frac{{k}^{2}}{12}$+k，當(dāng)2≤a≤4時，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 如圖，C（a，b），利用矩形的性質(zhì)和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征分別表示出A（a，0），E（a，$\frac{k}{a}$），B（0，b），F(xiàn)（$\frac{k}$，b），利用三角形面積公式得到S_△ECF=$\frac{1}{2}$（b-$\frac{k}{a}$）（a-$\frac{k}$），S_△OEF=ab-k-S_△ECF，于是得到S=S_△OEF-S_△ECF=k-$\frac{{k}^{2}}{ab}$，接著利用S=-$\frac{{k}^{2}}{12}$+k可解得ab=12，然后利用2≤a≤4得到2≤$\frac{12}$≤4，然后解關(guān)于b的不等式組即可．

解答 解：如圖，C（a，b），則A（a，0），E（a，$\frac{k}{a}$），B（0，b），F(xiàn)（$\frac{k}$，b），
∵S_△ECF=$\frac{1}{2}$（b-$\frac{k}{a}$）（a-$\frac{k}$），S_△OEF=ab-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$k-S_△ECF=ab-k-S_△ECF=
∴S=S_△OEF-S_△ECF=ab-k-2S_△ECF
=ab-k-ab+k+k-$\frac{{k}^{2}}{ab}$
=k-$\frac{{k}^{2}}{ab}$，
而S=-$\frac{{k}^{2}}{12}$+k，
∴-$\frac{{k}^{2}}{12}$+k=k-$\frac{{k}^{2}}{ab}$，
∴ab=12，
即a=$\frac{12}$，
∵2≤a≤4，
∴2≤$\frac{12}$≤4，
∴3≤b≤6．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．也考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和三角形面積公式．