Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)y=a（x-1）（x-5）與x軸交于B、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)A（0，4），拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l與x軸相交于點(diǎn)M．
（1）則a=$\frac{4}{5}$；該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=3；
（2）連接AC，在直線(xiàn)AC下方的拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)N，使△NAC的面積為14？若存在，請(qǐng)你求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)P（m，n）是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)（m、n為正整數(shù)），且它位于對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)．若以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形的四條邊的長(zhǎng)度是四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先把x=0，y=4代入y=a（x-1）（x-5），求出a的值是多少；然后求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，確定出該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸即可．
（2）首先過(guò)點(diǎn)N作NG∥y軸交AC于G，求出直線(xiàn)AC的解析式為：y=-$\frac{4}{5}$x+4，設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)是t，則此時(shí)點(diǎn)N（t，$\frac{4}{5}$t²-$\frac{24}{5}t$+4）（0＜t＜5）；然后求出△CAN面積的最大值為多少，判斷出是否存在一點(diǎn)N，使△NAC的面積為14即可．
（3）首先判斷出以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形有兩條邊：AO=4，OM=3，判斷出以1、2、3、4為邊或以2、3、4、5為邊都不符合題意，所以四條邊的長(zhǎng)只能是3、4、5、6一種情況，然后證明以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形的四條邊的長(zhǎng)是3、4、5、6成立，并求出P的坐標(biāo)是多少即可．

解答 解：（1）把x=0，y=4代入y=a（x-1）（x-5），
可得a×（-1）×（-5）=4，
解得a=$\frac{4}{5}$；
∵B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（1，0）、（5，0），
∴該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=（5+1）÷2=3，
即該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=3．

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)N作NG∥y軸交AC于G，，
拋物線(xiàn)y=$\frac{4}{5}$（x-1）（x-5）=$\frac{4}{5}$x²$-\frac{24}{5}x$+4，
由點(diǎn)A（0，4）和點(diǎn)C（5，0），可得直線(xiàn)AC的解析式為：y=-$\frac{4}{5}$x+4，
設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)是t，則此時(shí)點(diǎn)N（t，$\frac{4}{5}$t²-$\frac{24}{5}t$+4）（0＜t＜5），
把x=t代入y=-$\frac{4}{5}$x+4，
可得G（t，-$\frac{4}{5}$t+4），
此時(shí)NG=-$\frac{4}{5}$t+4-（$\frac{4}{5}$t²-$\frac{24}{5}t$+4）=-$\frac{4}{5}$t²+4t，
∴S_△NAC=S_△ANG+S_△CGN=$\frac{1}{2}×5$×（-$\frac{4}{5}$t²+4t）=-2t²+10t=-2${（t-\frac{5}{2}）}^{2}$+$\frac{25}{2}$，
∴當(dāng)t=$\frac{5}{2}$時(shí)，△NAC面積的最大值為：$\frac{25}{2}＜14$，
∴在直線(xiàn)AC下方的拋物線(xiàn)上不存在一點(diǎn)N，使△NAC的面積為14．

（3）如圖2，，
以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形有兩條邊：AO=4，OM=3，
又∵點(diǎn)P的坐標(biāo)中x＞5，
∴MP＞2，AP＞2，
∴以1、2、3、4為邊或以2、3、4、5為邊都不符合題意，
∴四條邊的長(zhǎng)只能是3、4、5、6一種情況．
在Rt△AOM中，AM=$\sqrt{{OA}^{2}{+OM}^{2}}$=5，
∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸過(guò)點(diǎn)M，
∴在拋物線(xiàn)x＞5的圖象上有關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與M的距離為5，
即PM=5，此時(shí)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為6，即AP=6，
∴以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形的四條邊的長(zhǎng)是3、4、5、6成立，
即P（6，4）．
故答案為：$\frac{4}{5}$、x=3．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了二次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問(wèn)題的能力；
（2）此題還考查了三角形的面積的求法，以及數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用，要熟練掌握．