Question

如圖，矩形OABC的頂點B在第一象限，其它頂點坐標(biāo)分別為O（0，0），A（1，0），C（0，2），反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象與直線AB交于點E，與直線BC交于點F，連接OE、OF、EF．
（1）若點E與點F重合于點B，則k的值為

 

；
（2）若點E是AB的中點，則k=

 

．S_△OEF

 

；
（3）若k＜2，且S_△CEF=2S_△BEF，求點E的坐標(biāo)；
（4）在y軸上是否存在點M，使得以點M、E、F為頂點的三角形與△BEF全等？若存在，直接寫出此時點E的坐標(biāo)；若不存在．說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先確定B點坐標(biāo)為（1，2），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可得到k=2；
（2）先得到E點坐標(biāo)為（1，1），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可得到k=1，再利用F的縱坐標(biāo)為2可確定F點坐標(biāo)為（

1

2

，2），則可根據(jù)S_△OEF=S_矩形ABCO-S_△AOE-S_△OCF-S_△BEF進行計算；
（3）根據(jù)三角形的面積公式有k＜2，且S_△CEF=2S_△BEF得到CF=2BF，則F點坐標(biāo)為（

1

3

，2），再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得k=

2

3

，則反比例函數(shù)解析式為y=

2

3x

，然后利用E點的橫坐標(biāo)為1即可確定E點坐標(biāo)；
（4）作EH⊥y軸于C，如圖，設(shè)E點坐標(biāo)為（1，k），則F（

k

2

，2），分類討論：
當(dāng)k＜2時，由△MFE≌△BFE得到MF=BF=1-

k

2

，ME=BE=2-k，∠FME=90°，易證得Rt△CFM∽Rt△HME，利用相似比可得到MH=k，然后在Rt△MHM中，根據(jù)勾股定理得1²+k²=（2-k）²，解得k=

3

4

，則E點坐標(biāo)為（1，

3

4

）；
當(dāng)k＞2時，如圖，由△MFE≌△BEF得到MF=BE=k-2，ME=BF=

k

2

-1，∠FME=90°，易證得Rt△CFM∽Rt△HME，則可利用相似比得到MH=

1

4

k，在Rt△MHM中，利用勾股定理得到1²+（

1

4

k）²=（

k

2

-1）²，解得k₁=

16

3

，k₂=0（舍去），則E點坐標(biāo)為（1，

16

3

）．

解答：解：（1）∵O（0，0），A（1，0），C（0，2），
而四邊形ABCO為矩形，
∴B點坐標(biāo)為（1，2），
∴點E與點F重合于點B，k=1×2=2；
（2）∵點E是AB的中點，
∴E點坐標(biāo)為（1，1），
∴k=1×1=1，
把y=2代入y=

1

x

得

1

x

=2，解得x=

1

2

，
∴F點坐標(biāo)為（

1

2

，2），
∴S_△OEF=S_矩形ABCO-S_△AOE-S_△OCF-S_△BEF
=1×2-

1

2

-

1

2

-

1

2

×

1

2

×

1

2

=

3

4

；
故答案為2；1，

3

4

；
（3）∵k＜2，且S_△CEF=2S_△BEF，
∴CF=2BF，
∴F點坐標(biāo)為（

1

3

，2），
∴k=

1

3

×2=

2

3

，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

2

3x

，
把x=1代入y=

2

3x

得y=

2

3

，
∴E點坐標(biāo)為（1，

2

3

）；
（4）作EH⊥y軸于C，如圖，
設(shè)E點坐標(biāo)為（1，k），則F（

k

2

，2），
當(dāng)k＜2時，
∵△MFE≌△BFE，
∴MF=BF=1-

k

2

，ME=BE=2-k，∠FME=90°，
∴Rt△CFM∽Rt△HME，
∴MF：ME=CF：MH，
∴MH=

k 2 •(2-k)

1- k 2

=k，
在Rt△MHM中，HE=1，
∴HE²+MH²=ME²，
∴1²+k²=（2-k）²，解得k=

3

4

，
∴E點坐標(biāo)為（1，

3

4

）；
當(dāng)k＞2時，如圖，
∵△MFE≌△BEF，
∴MF=BE=k-2，ME=BF=

k

2

-1，∠FME=90°，
∴Rt△CFM∽Rt△HME，
∴MF：ME=CF：MH，
∴MH=

k 2 •( k 2 -1)

k-2

=

1

4

k，
在Rt△MHM中，HE=1，
∴HE²+MH²=ME²，
∴1²+（

1

4

k）²=（

k

2

-1）²，解得k₁=

16

3

，k₂=0（舍去），
∴E點坐標(biāo)為（1，

16

3

），
∴點E的坐標(biāo)為（1，

3

4

）或（1，

16

3

）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、三角形全等的性質(zhì)和矩形性質(zhì)；熟練運用勾股定理和相似比進行幾何計算．