Question

15．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)P為正方形內(nèi)部（含邊上）的任意一點(diǎn)，且BP=2，分別連接PC、PD，則PD+$\frac{1}{2}$PC的最小值為5．

Answer 1

分析 如圖，在BC邊上取一點(diǎn)E，使得BE=1，連接DE．首先證明△PBE∽△CBE，推出$\frac{PE}{PC}$=$\frac{PB}{BC}$=$\frac{1}{2}$，推出PE=$\frac{1}{2}$PC，推出PD+$\frac{1}{2}$PC=PD+PE，由PE+PD≥DE，求出DE即可解決問題．

解答 解：如圖，在BC邊上取一點(diǎn)E，使得BE=1，連接DE．

∵PB=2，BC=4，BE=1，
∴$\frac{PB}{BC}$=$\frac{BE}{PB}$=$\frac{1}{2}$，∵∠PBE=∠CBE，
∴△PBE∽△CBE，
∴$\frac{PE}{PC}$=$\frac{PB}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴PE=$\frac{1}{2}$PC，
∴PD+$\frac{1}{2}$PC=PD+PE，
∵PE+PD≥DE，
在Rt△DEC中，∵∠DCE=90°，CD=4，EC=3，
∴DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=5，
∴PE+PD的最小值為5，
∴PD+$\frac{1}{2}$PC的最小值為5，
故答案為5．

點(diǎn)評 本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．